李永乐:世界上效率最高的进制

你知道100⁹⁹和99¹⁰⁰哪个更大吗？

 

先看看两个数的含义：

 

你会发现：无论是99个100，还是100个99，加起来都是9900。

 

所以这个问题变成了：如果你把9900拆成几个数的和，然后把它们乘起来，什么时候乘积最大？

 

小学时候，我的数学老师教过我这个问题。他说：把一个数拆成几个正整数的和，让它们的乘积最大，应该尽量拆3，拆不了3的，就拆2或者4。这个时候乘积就最大。

 

比如，你要12拆成几个正整数的和，再把它们乘起来。你可以拆成12个1、或者6个2、或者4个3、或者3个4、或者2个5和1个2、或者2个6。它们的乘积是：

 

 

你发现没？把12拆成4个3，它们的乘积是81，最大。

 

现在，你要把9900拆成一大堆正整数的和，让它们的乘积最大，那么应该拆成3300个3，它们的乘积最大：

 

如果拆成100个99或者99个100的话，因为99离3更近，所以99¹⁰⁰更大。实际上：

 

这个结论有啥用呢？

 

它可以告诉我们：我们平常用的10进制和计算机的2进制，都没有3进制的效率高。

 

具体来说：大家一定见过小孩玩的算珠计数器吧！如果给你100个珠子，你最多能表示出多少个数呢？

 

 

如果计数器用10进制，那每一位的柱子上需要有10个珠子(不要跟我争论9个珠子也可以，从0到9明明就是10个数),100个珠子可以串满10根柱子，也就是能表示出十位数，总共能表示1010个数;

 

如果用5进制，每一根柱子上需要串5个珠子，一共能串满20位，也就是能表示520个数...

 

以此类推，列一个表格：

 

 

你会发现：同样用100个珠子，使用3进制——每根柱子上串3个珠子，表示33位，效率是最高的，它能表示出最多的数字！

 

我们还可以把进制x作为横坐标，把100个珠子在这种进位制下能表示的数作为纵坐标，画出一幅图，你会发现，在进位制是e=2.71828…时表示的数最多！这个数就是自然常数e！它是一个和圆周率π一样神奇的无理数！

 

 

当然，进位制应该是整数，就找一个最靠近e的数吧——那就是3！

 

我们在生活中用10进制，因为方便，计算机普遍采用二进制，因为符合电路特点。但实际上，3进制才是效率最高的。美国和苏联其实都研究过3进制计算机，不过因为种种原因放弃了。说不定什么时候，人们重启了三进制计算机的研究呢。

 

那么，为什么3有这么神奇的性质呢？

 

其实，这是一个函数极值问题。我们要将一个整数N拆几个x的和，显然可以拆出N/x个数。把它们乘起来，乘积函数f(x)可以写作：

 

现在我们要问：x取多少，这个函数才最大呢？我们对这个函数取对数，再求导数：

 

你会发现：

• 当x

• 当x>e时，lnx>1，导函数小于0，f(x)是减函数；

• 当x=e时，导函数等于0，f(x)取最大值。

 

所以，把一个数拆自然常数e的和，这些数的乘积才是最大的！在自然界中，e进制也是效率最高的。如果必须选择整数，那就选择那个最接近e的整数——3。现在，你明白了吗？